İntegral denklemleri ve çözüm yöntemleri / Methods for solving integral equations

Abstract

Bu tezde, lineer ve nonlineer integral denklemleri için elemanter Varlık-Teklik teoremleri, Fredholm ve Volterra integral denklemleri tüm detayları ile verildi. Fredholm alternatifi ve fixed nokta teoremi ayrıntlı bir şekilde açıklandı. Bunun yanında, bu integral denklemlerin belli başlı çözüm yöntemleri olan cebirsel sistemlere indirgenme, ardışık yaklaşıklar, çekirdeğin iterasyonu metodları ve uygulamaları ele alındı. Bazı elemanter teknikler özellikle contraction dönüşüm operatörü ve integral denklemlerine olan uygulamaları verildi. Pozitif çekirdekli integral operatörleri detaylı bir şekilde tartışıldı. Lineer cebirdeki gerekli bilgilerin altı çizildi ve Hilbert uzayları üzerinde operatör olarak davranan integral operatörlerine bakıldı. Hilbert-Schmidt teorisi gerekli argümanları ile verildi. Fourier, Laplace, Hankel, Mellin transformasyonları anlatıldı. Projeksiyon metodu ile Wiener-Hopf Teknigi I-II ve Dual integral denklemleri tartışıldı. Uygulamalı matematik ve matematiksel fizik alanında integral denklemlerinin hemen hemen her alanda rol oynadığını söylemek olasıdır. Buna binaen matematiksel fiziğin birçok problemi integral denklemler ile ifade edildi. Bunların birçoğu örnek olarak detaylı bir şekilde tartışıldı. In this thesis we discuss linear integral equations. Basic existence and uniqueness theorems are given. For linear and nonlinear Fredholm and Volterra types integral equations with certain methods are given in detail. The Fredholm alternative and the fixed point theorem is discussed fully. Some elementary techniques, in particular the contraction mapping principle and its applications to integral equations are given. Integral operators with positive kernels are also discussed. The necessary background in linear algebra is sketched and some aspects of Hilbert space theory are presented. Hilbert-Schmidt theory with its arguments is also given. Integral transformation methods are discussed very fully. The Fourier transform is presented and used to present the Laplace, Mellin and Hankel transforms. Subsequently, the projection method is discussed and applied to Wiener-Hopf problems and to certain mixed boundary value problems. Integral equations occur naturally in many fields of mechanics and mathematical physics. Many problems of mathematical physics and several examples of integral equations are given.