Abstract:
Kesirli kısmi diferansiyel denklemler, fizik, mühendislik, biyoloji, finans, viskozite ve akışkan mekaniği gibi çeşitli alanlarda anormal difüzyon olgularını tanımlamak için geliştirilmiştir. Bu nedenle, bu denklemleri çözmek için sayısal teknikler vazgeçilmezdir. Bu tez, iki ana bölüme ayrılmıştır: birinci bölüm, Caputo kesirli türevin yaklaşımını incelerken, ikinci bölüm, tamsayılı mertebeli türevlerle diferansiyel denklemleri inceler. Bu çalışma, üçüncü mertebeden bir kısmi diferansiyel denklemi hem Caputo kesirli türevleri hem de tamsayılı mertebeli türevler kullanarak ilk kez araştırmaktadır ve tipik üçüncü mertebeden zamanla değişen sistem modellerinin kapsamının ötesine geçmektedir. β = 1 olduğunda, bu kesirli kısmi diferansiyel denklem, bir Hilbert uzayında Cardano’nun ilişki yöntemi kullanılarak soyut bir olağan diferansiyel denklem biçimine dönüştürülür. Dönüştürülen problem için birinci mertebeden sonlu fark yöntemi geliştirilir ve soyut model problemi kararlılığı, bir Hilbert uzayındaki Cardano’nun ilişki yöntemi kullanılarak gösterilir. Üçüncü mertebeden kesirli kısmi diferansiyel denklemin çözümünü yaklaşık olarak hesaplamak için açık sonlu fark yöntemi kullanılarak, hem Caputo kesirli türevler hem de tamsayılı mertebeli türevlerin β ∈ (0, 1] sıralarını kullanır. Elde edilen yaklaşık çözümler, önerilen yöntem kullanılarak analitik çözümlerle karşılaştırılır. Ayrıca, analitik çözümü türetmek için çift Laplace dönüşüm yöntemi kullanılır. Son olarak, hem Caputo kesirli türevler hem de tamsayılı mertebeli türevler temel alınarak üçüncü mertebeden kesirli kısmi diferansiyel denklemleri için analitik ve yaklaşık çözümler için simülasyonlar sunulur.
