Jensen eşitsizliği ve uygulamaları / Jensen's inequality and applications

Abstract

Konveks fonksiyonlarda, diskrit (ayrık) Jensen eşitsizliği, genelleştirilmiş versiyonu, Jensen eşitsizliğinden yaygın olarak kullanılan klasik eşitsizlikler elde edilmekle beraber ve Jensen eşitsizliğinin integral analoğu ifade edilerek ispatlarıyla verildi. Jensen eşitsizliğinin tersi ifade edilerek geliştirilmiş bir versiyonu ifade edildi. Konveks fonksiyonlar için Jensen eşitsizliği için en iyi üst sınır, global üst sınır ve Jensen eşitsizliği ve yeni entropi sınırları çalışıldı. Jensen eşitsizliğinin olasılık teorisindeki ve zaman skalası üzerindeki karşılıkları verildi. İki değişkenli fonksiyonlar için Jensen eşitsizliği ifade edilerek düzlemde sınırlı bir alan üzerindeki konveks bir fonksiyon için Hermite-Hadamard eşitsizliğinin bir alt sınırı elde edildi. Negatif olmayan ölçülebilir konveks fonksiyonlar için Hardy-Polya-Knopp eşitsizlikleri ve Wright konveks fonksiyonlar için Jensen eşitsizlğine vurgu yapıldı. Kısaca, bu tezde çok bilinen Jensen eşitsizliği ile ilgili derleme sistematik bir disiplinle ele alındı. ANAHTAR KELİMELER : Konveks fonksiyonlar, eşitsizlikler, Jensen eşitsizliği, global üst sınır, en iyi üst sınır Jensen?s discrite inequality and its generalization for convex functions are stated and proved. The well known inequalities arithmetic-geometric-mean inequality, Young inequality, Cauchy-Buniakowsky-Schwarz inequality, Hölder inequality and Minkowski inequality are derived from one dimensional Jensen?s discrite inequality. Converse of Jensen?s inequality and its refinement are reviewed as in the literature. A simple version of Jensen?s integral inequality is stated and proved as in the literature. The best upper bound and global upper bound for the weighted Jensen?s discrite inequality are stated and proved. Also their applications in information theory are mentioned as studied in the literature as before. The proof of Jensen?s inequality on time scales and probability is given and proved. Jensen?s inequality for two variables convex functions and the lower bound of the Hermite-Hadamard inequality for convex function on the bounded area from the plane are reviewed as in the literature. Jensen?s inequality for Wright convex function and Hardy-Polya-Knopp?s inequalities for non negative and measurable convex functions are reviwed as in the literature as before. Simply, in this thesis convexity and the well known Jensen?s inequality are reviwed with a systematic way from literature. KEY WORDS : Convex functions, inequalities, Jensen's inequality, global upper bound, best upper bound