Mathieu gruplarının geometrisi / The geometry of Mathieu groups

Abstract

Sonlu grup teorisinde, önemli çalışmalardan birisi de bütün sonlu ve basit grupların geometrik izahıdır. Bu konuyla ilgili birçok çalışma yapılmıştır. Özellikle Mathieu Gruplarının geometrileri üzerinde geniş araştırmalar yapılmış, farklı ranklara sahip geometriler oluşturulmuştur. Bunu yaparken, Mathieu gruplarının alt gruplarından ve maksimal alt gruplarından yararlanılmıştır. Ayrıca bilgisayar ortamında özel programlar kullanarak daha karmaşık özelliklere sahip ve daha büyük mertebeli gruplar üzerinde çalışılmıştır. Bu tezde Mathieu gruplarının nasıl inşa edildiği ispatlanmakta ve daha önceki çalışmalarda sadece sonuç şeklinde verilmiş olan, başta küpün geometrisi olmak üzere, ve Mathieu gruplarının farklı ranklara sahip geometrileri, herhangi bir bilgisayar programı kullanmadan incelenmekte olup bu sonuçlara nasıl varıldığı hesaplanmaktadır. Ayrıca, Mathieu grubunun alt gruplarından oluşan yeni bir geometrisi oluşturulmaktadır. One of the most important results in finite group theory is geometric describtion of all finite simple groups. There have been a number of results on that subject. In particular, there have been extensive researchs on geometries of The Mathieu groups and have built geometries with different ranks. To do this, one has to use subgroups or maximal subgroups of these groups. Furthermore, there have worked on groups, which has more complex features and bigger orders, by special computer programs. In this thesis, we proof how the Mathieu groups are built and geometry of cube is in the lead, we investigate different ranks geometries of and Mathieu grups which were given only as results in former works and calculate how these results are obtained, without using any computer programs. Further, a new geometry of Mathieu group based on subgroups are built.