Ergodik teoremler ve maksimal eşitsizlik / Ergodic theorems and maximal inequality

Abstract

A dinamik sistemi üzerindeki ortalamasının yakınsaklığı ergodik teorinin temel sorusudur. Ergodik teoride ve analizin diğer alanlarında ortaya çıkan yakınsaklık problemlerinin çözümünde maksimal eşitsizlik teknikleri kullanılabilir. Bu tezde maksimal ergodik teoremin farklı bir ispatı ele alınmış olup, ergodik maksimal fonksiyonun ve ergodik kare fonksiyonların maksimal eşitsizliği gerçeklediği gösterilmiştir. Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde önceki çalışmalar ve literatür bilgileri sunulmaktadır. İkinci bölümde bu çalışmada gerekli olan genel tanım ve teoremler verilmektedir. Üçüncü bölümde kullanılan materyal ve yöntemler anlatılmaktadır. Dördüncü bölüm ise beş alt kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda, Kakutani'nin vermiş olduğu ayrışım kullanılarak maksimal ergodik teoremin ispatı ele alınmaktadır. İkinci kısımda iki ergodik maksimal fonksiyonun bir birine eşit olma durumu incelenmiştir. Üçüncü kısımda bu ayrışımlar yardımıyla maksimal fonksiyon ve fonksiyonunun integrallenebilirliği arasındaki ilişki verilmektedir. Dördüncü kısımda ergodik kare fonksiyonlar tanıtılmıştır ve ergodik kare fonksiyonun maksimal eşitsizliğini sağladığı gösterilmektedir. Son kısımda ise hareketli ortalamaya göre kare fonksiyonu tanımı verilmiş olup, integrallenebilir oldukları ve böylelikle hemen hemen her yerde sonlu oldukları gösterilmiştir. The convergence of average on the A dynamic system is the basic question of the ergodic theory. Maximal inequality techniques can be used for the solution of convergence problems occuring in ergodic theory and other fields of analysis. In additon to consideration of a different proof of maximal ergodic theorem, the assurance of maximal ergodic theorem by ergodic maximal function and square ergodic functions was shown. This thesis consists of four sections. In the first section, previous studies and literature are introduced. In the second sections, general definitions and theorems that are essential in this study are given. In the third section used material and methods are explained. The fourth section consists of five parts. In the first part, using the decomposition given by Kakutani, proof of ergodic theory is handled. In the second part, the case of being equal of the two ergodic maximal functions is investigated. In the third part, by the help of these decompositions, integrability relation between maximal function and functions are given In the fourth part, ergodic square functions are introduced and the assurance of maximal inequality by ergodic square function are shown. In the last part of it, the definition of square function according to moving average are given and their integrability, and thus their almost everwhere finity are shown.