Toplamsal cellular automatanın kaotikliği ve entropi çeşitleri / Chaoticity of additive cellular automata and kinds of entropy

Abstract

TOPLAMSAL CELLULAR AUTOMATANIN KAOTİKLİĞİ VE ENTROPİ ÇEŞİTLERİ Feride ALTINGÖZ ÖZET Tezimiz dört bölümden oluşmaktadır. İlk bölümünde, ihtiyaç duyulan gerekli tanım ve teoremler detaya girilmeden verilmektedir. İkinci bölümde ise ayrışım kavramı ve bir dinamik sistemin iki çeşit entropisi (topolojik ve ölçüm entropi) incelenmektedir. Üçüncü bölümde materyal ve yöntemler açıklanmaktadır. Son bölümde ise Devaney'in kaos tanımına göre kaotiklik daha detaylı olarak açıklanmaktadır. Toplamsal bir-boyutlu CA'nın kaotik davranışı incelenmektedir. Özellikle Devaney'in kaos tanımına göre kaotikliğin şartları dikkatli bir biçimde incelenmektedir. Devaney'in kitabında (1989) verilen bazı problemler çözülmektedir. İyi bilinir ki eğer geçiş dönüşümü T f [ l ,r ] başlangıç şartlarına duyarlı, topolojik geçişken ve X üzerinde yoğun periyodik orbitlere sahip ise ( X , T f [l ,r ] ) dinamik sistemi Devaney'in kaos tanımına göre kaotiktir. Favati ve ark., (1997) ispatladılar ki herhangi f lokal kuralı rightmost (leftmost) permütatif ise o zaman T f [ l ,r ] geçişkendir ve onlar aynı zamanda gösterdiler ki eğer p asal sayı olmak üzere f, Z p üzerinde tanımlanmış herhangi bir toplamsal yerel kural ise o zaman T f [ l ,r ] yoğun periyodik orbitlere sahiptir. Banks ve ark., (1992) ispatladılar ki eğer herhangi bir T dönüşümü yoğun periyodik orbitlere sahip ve o topolojik geçişken ise o zaman bu dönüşüm başlangıç şartlarına duyarlıdır. Böylece (Banks ve ark., 1992) ve (Favati ve ark., 1997) de elde edilen sonuçlar toplamsal bir-boyutlu CA'nın kaotik olduğunu ispatlamak için kullanılmaktadır. Z 2 üzerinde Favati ve ark., (1997) tarafından bulunan nf doğal sayısı (p bir asal sayıdır) cismine Zp genelleştirilmektedir. Ayrıca gösterilmektedir ki eğer toplamsal bir-boyutlu CA kaotik ise o zaman onun tersi ve n. ötelemesi de kaotiktir. CHAOTICITY OF ADDITIVE CELLULAR AUTOMATA AND KINDS OF ENTROPY Feride ALTINGÖZ SUMMARY Our thesis contains four chapter. In the first chapter necessary definitions and theorems that we need have been given without going into details. In the second chapter, the concept of partition and two kinds of entropy (topological and measure theoretical entropy) of a dynamical system have been investigated. In the 3rd chapter the materials and methods have been explained. In the last chapter, the chaoticity according to Devaney?s definition of chaos has been explained more detailed. The chaotic behavior of additive one-dimensional CA has been studied. Especially the conditions of chaotic according to Devaney?s definition of chaos have been investigated carefully. Some problems given in Devaney?s book (1989) have been solved. It is well known that a dynamical system ( X , T f [l ,r ] ) is chaotic according to Devaney?s definition of chaos if its transition map T f [ l ,r ] is sensitive to initial conditions, topologically transitive, and has dense periodic orbits on X . Favati et al. (1997) have proved that any local rule f is rightmost (leftmost) permutative then T f [ l ,r ] is transitive and they have also shown that if f is any additive local rule defined on Z p , where p is a prime number, then T f [ l ,r ] has dense periodic orbits. Banks et al. (1992) have proved that if any transformation T has dense periodic orbits and it is topologically transitive, then it is sensitive to the initial conditions. Thus, the results obtained in (Banks et al. 1992) and (Favati et al., 1997) have been used to prove that an additive one-dimensional CA is chaotic. Some additive one-dimensional CA that are chaotic have been obtained. The natural number n f which obtained by Favati et al. (1997) over Z 2 is generalized to the field Z p , where p is a prime number. Furthermore, it is shown that if an additive one-dimensional CA is chaotic, then its inverse and nth iteration of this map are chaotic.