Hiperbolik kısmi diferensiyel denklemlerin sonlu fark şeması metoduyla çözümü / Solution of partial hyperbolic differential equations with finite difference scheme method

Abstract

Bu çalışmada ikinci mertebeden kısmi diferansiyel denklemlerin başlangıç-sınır değer problemi {█(u_tt (t,x)=u_xx (t,x)+u_x (t,x)+f(t,x); 0 0) ve h = L /M (M > 0)) dayanan ızgara noktaları (=grid points) ailesinin w(τ,h)= [0,T]_τ × [0,L]_h kümesi kullanıldı. Hiperbolik kısmi diferansiyel denklemin sonlu fark şeması metodu ile yaklaşık çözümü elde etmek için Gauss eliminasyon metodu uygulandı. Örnek kısmi diferansyel denklemlere Laplace ve Fourier transform metotları uygulandı. Bu diferansiyel fark şemasının çözümü için teorik ifadeler nümerik deneylerin sonuçlarıyla da desteklendi. Matlab programı kullanılarak tam ve nümerik çözümler karşılaştırılarak doğruluk kestirimleri açısından güzel sonuçlar bulundu. Sonuç olarak, sonlu fark şeması metodu uygulanılarak çalışılan hiperbolik kısmi diferansiyel denklemin nümerik çözümü için elverişli sonuçlar bulunup hata analizi yapıldı. In this study, second order partial differential equations are investigated. We studied the following initial-boundary value problem: {█(u_tt (t,x)=u_xx (t,x)+u_x (t,x)+f(t,x), 0 0) and h = L /M (M > 0)), is used. Gauss elimination method is applied to obtain an approximate solution to hyperbolic partial differential equation with finite difference method. Stability estimates are given for this hyperbolic differential equation. The exact solutions obtained with Laplace and Fourier transform methods are compared with the approximate solution. Theoretical expressions for this difference scheme are supported by results of numerical experiments. Numerical solutions obtained with Matlab program produce decent results in terms of stability estimates. Some examples are given in order to show validity and applicability of the given technique. In conclusion, finite difference method produce convenient results for solving the studied hyperbolic partial differential equation.